LE  NOMBRE  D ’OR

 

 

Il existe deux nombres d’or qui n’ont aucun rapport mais qui, tous deux, nous viennent des Grecs. Le premier, dont nous dirons peu de chose, résulte d’une découverte de l’astronome Méton (~Vème siècle) : il remarqua que les lunaisons reviennent aux mêmes dates tous les 19 ans. Ce nombre d’or, celui qu’indique le calendrier des postes, est tout simplement le numéro de l’année dans ce cycle de 19 ans. Le comput ecclésiastique l’utilise pour déterminer la date de Pâques. La réforme grégorienne de 1582 a prévu, outre la modification à apporter au rythme julien des années bissextiles, le léger correctif qu’il faut également appliquer au cycle de Méton.

Le second nombre d’or est au contraire une constante bien définie dont la valeur nous est donnée par Euclide dans ses Éléments (~IIIème siècle), sans que le mathématicien lui accorde un intérêt spécial ni une dénomination particulière. Vers 1200, Léonard de Pise, alias Fibonacci, en fait une étude plus spécifique, mais toujours purement mathématique. Ce n’est qu’au début du XVIème siècle, dans sa Divine proportion, que Lucas Pacioli l’aborde d’un point de vue nettement mystique, sans succès. Il faut attendre la fin du XIXème siècle pour qu’apparaisse l’expression « section d’or » et le début du XXème pour qu’on parle de « nombre d’or », du moins pour désigner celui-ci, suite à un engouement provoqué par les découvertes de chercheurs qui le traquent partout, des œuvres d’art à la botanique en passant par l’anatomie humaine.

 

 

LA  SECTION  D ’OR

 

Si vous faites de la photographie, fût-ce en photographe du dimanche, vous connaissez sans doute cette règle selon laquelle, dans un paysage, la ligne d’horizon ne doit pas couper la photo en deux parties égales. Les manuels recommandent généralement de la placer au tiers de la photo environ, que ce soit vers le haut ou vers le bas. Mais c’est une indication bien vague pour les théoriciens du nombre d’or. Ils exigent une précision absolue et fondée mathématiquement. Pour eux, l’harmonie est maximale lorsqu’il y a le même rapport entre la photo entière et la plus grande des parties qu’entre cette dernière et la plus petite. On tombe alors sur l’antique problème euclidien du partage d’un segment en extrême et moyenne raison.

 

 

Selon l’usage établi, nous désignerons le nombre d’or par la lettre grecque Φ. Le partage de la hauteur AB doit être tel que l’on ait à la fois :

 

AB      IB

AB = AI + IB    et    ––– = ––– = Φ

IB      AI

 

 Prenons la hauteur AB comme unité ; on obtient :

 

             

1 + √5 

Φ = –––––– ≈ 1,618

 

 

AB = 1,000      AI ≈ 0,382      IB ≈ 0,618

 

Les segments AI, IB et AB forment une progression géométrique de raison Φ, qui peut être prolongée dans les deux sens :

0,236 ––(×Φ)→ 0,382 ––(×Φ)→ 0,618 ––(×Φ)→ 1,000 ––(×Φ)→ 1,618 ––(×Φ)→ 2,618 ––(×Φ)→ 4,236

Cette suite de nombres, ici arrondis au millième, présente deux propriétés. Chacun de ses termes est égal à la somme des deux précédents (ce qui est une conséquence de la première condition imposée : AB = AI + IB) et à la moyenne proportionnelle des deux termes qui l’encadrent (ce qui découle de la seconde condition : AB/IB = IB/AI). Exemple :

 

2,618 = 1,618 + 1,000

                                                                                  

2,618 = √1,618×4,236

 

La formule qui définit le nombre d’or synthétise ces deux propriétés :

 

               1

Φ =  1 + –

               Φ

 

La fameuse suite de Fibonacci est une progression géométrique approchée. On part de l’unité, puis chaque terme est égal au précédent multiplié par Φ et arrondi à l’entier le plus proche : 1   -   2   -   3   -   5   -   8   -   13   -   21   -   34   -   55   -   etc. Un nombre de la suite est toujours égal à la somme des deux précédents et, si le rapport de deux termes consécutifs n’est plus constant, il tend cependant vers le nombre d’or. (Les différentes valeurs dudit rapport sont, en fait, les réduites successives de Φ : cf. infra.)

 

Au plan artistique, une photographie ou un tableau seraient donc d’autant plus harmonieux que le rapport entre les deux surfaces délimitées par la ligne d’horizon approcherait le nombre d’or. On pourrait s’attendre à ce que les artistes, qui ont le sens de l’harmonie, adoptent d’instinct cette disposition dans leurs œuvres. Voulant le vérifier, nous avons calculé ce rapport pour 160 reproductions extraites du Dictionnaire universel de la peinture (éditions Le Robert) dans lesquelles la ligne d’horizon était parfaitement visible. Il s’agissait pour une grande part de paysages, marines, vedute, mais aussi de batailles, de scènes mythologiques ou religieuses et même de scènes d’intérieur et de portraits, laissant voir la ligne d’horizon par une fenêtre ouverte, par exemple. Précisons que nous nous sommes limité à des œuvres de la peinture occidentale, du début de la Renaissance à la période impressionniste. La première remarque qui s’impose, au vu des résultats, est que la section d’or n’a rien d’une impérieuse nécessité pour les artistes : ils adoptent toutes les positions pour la ligne d’horizon, depuis des œuvres où elle se situe exactement au milieu du tableau jusqu’à d’autres où elle est extrêmement proche du bord. Mais effectivement, les deux parties sont généralement de taille nettement différente. Nous avons déterminé leur rapport médian. Dans un premier temps, nous avions classé les tableaux en quatre catégories selon qu’ils étaient pris en hauteur ou en largeur et selon que la ligne d’horizon était dans la partie haute ou dans la partie basse. Mais les résultats étant quasiment identiques, à quelques centièmes près, nous en sommes revenus au calcul d’une unique valeur globale ; nous avons trouvé 1,83. Certes, notre échantillon était fort restreint, mais cette valeur est suffisamment éloignée du nombre d’or pour qu’on puisse en conclure, sans grand risque d’erreur, que la divine proportion n’a aucune influence sur les peintres, en tout cas pour ce qui est du placement de la ligne d’horizon.

 

Dans un autre domaine, nos chercheurs auraient découvert que le nombril partage le corps humain selon la section d’or. Au point de vue physique, il est exclu que ce puisse être le cas à la fois pour un adulte et pour un enfant, pour un pygmée et pour un Suédois, pour un gymnaste et pour un basketteur. S’il s’agit simplement d’un canon artistique, il ne peut, là encore, que s’appliquer à une culture géographiquement et historiquement bien précise. Dans un cas comme dans l’autre, qu’on l’affirme comme idéal physique ou comme indice d’un sens esthétique particulièrement élevé, on fait plus que frôler le racisme pur et simple. Au demeurant, comme dans l’exemple qui va suivre, la stupéfiante précision des résultats obtenus par nos chercheurs doit tout à la rigueur avec laquelle ils sélectionnent leurs échantillons.

 

 

LE  RECTANGLE  D ’OR

 

Il s’agit d’un rectangle défini par : longueur / largeur = Φ. Il s’ensuit que lui enlever un carré redonne un nouveau rectangle d’or aux dimensions Φ fois plus petites et, inversement, on engendre un nouveau rectangle d’or, aux dimensions Φ fois plus grandes, en lui accolant un carré sur la longueur.

 

 

Mais c’est toujours l’aspect prétendument esthétique qui est mis en avant. Il s’agirait d’un rectangle particulièrement harmonieux, à mi-chemin entre le carré et des rectangles excessivement allongés. Bref, il incarnerait, si l’on ose dire, une espèce de rectangularité idéale. Essayons, une fois encore, de confronter la théorie aux faits. On trouve évidemment des rectangles de toutes sortes dans les objets qui nous entourent. Cependant, si l’on cherche des formats vraiment courants, nous n’en voyons guère que deux :

 

- le format 4/3 ≈ 1,33 était, il y a encore peu, celui du papier à dessin ordinaire vendu en feuilles de 24×32. C’était également celui des écrans des téléviseurs et des ordinateurs. C’est toujours, pour autant que nous sachions, celui des appareils photographiques numériques et celui des tirages papier en 18×24 ou en 30×40. D’autres formats en sont très proches, tels le raisin (65×50 ≈ 1,30), celui de l’ancien papier à écrire (21×27 ≈ 1,29) ou celui des cahiers d’écolier (22×17 ≈ 1,29).

              

- le format √2 ≈ 1,41 qui s’est généralisé et existe surtout dans les tailles A4 et A3. C’est le seul format qui demeure invariant par dichotomie ou duplication : une feuille A3 équivaut exactement à deux feuilles A4. Il répond manifestement à un souci de normalisation extrême. (La surface d’une feuille de papier A4 vaut 1/24 mètre carré.)

 

À notre connaissance, il n’existe pas de format usuel se rapprochant du rectangle d’or, à l’exception de celui des cartes de crédit, mais c’est vraiment un exemple isolé. Des chercheurs ont pourtant avancé que c’était le format de prédilection des peintres. Nous avons donc également calculé, pour les 160 reproductions déjà citées, le rapport longueur/largeur. Sa valeur médiane est de 1,33 et elle varie fort peu, que la toile soit prise en hauteur (1,32) ou en largeur (1,38). En réalité, les tableaux aussi allongés que le rectangle d’or sont rares, même pour des paysages. Si l’on veut à tout prix désigner un format attractif, ce ne peut être, nous semble-t-il, que le format 4/3 :

 

Il se compose de deux triangles égyptiens. Le triangle égyptien est le plus petit triangle rectangle que l’on puisse construire en nombres entiers et la seule forme de triangle rectangle dont les côtés sont en progression arithmétique. On ne voit guère la relation qu’il pourrait y avoir entre ces propriétés et le fait qu’il engendre un rectangle idéalement moyen, si tant est qu’il faille en chercher une.

 

 

LE  TRIANGLE  D ’OR

 

C’est un triangle rectangle dont les côtés sont en progression géométrique. Prenons le plus petit côté pour unité et appelons x la raison de la progression ; on doit avoir :

x4 = x2 + 1   →   x2 = 1 + 1/x2    On retrouve la formule du nombre d’or et les trois côtés valent, respectivement :

 

               

1   -   √Ф   -   Ф

 

 

On peut en dériver un nouveau rectangle d’or, disons de type II, pour le distinguer du précédent, caractérisé par un rapport longueur/largeur de 1,272 environ. Remarquons que nous ne sommes plus très loin de la valeur 1,33 et on ne peut exclure catégoriquement qu’en reprenant l’expérience précédente, avec peut-être davantage de portraits et moins de paysages, on ne finisse par aboutir à une valeur médiane de 1,27. Eh bien ! disons-le : des chercheurs s’y sont attelés et, écartant tout à fait naturellement quelques tableaux atypiques, ils ont trouvé cette valeur de 1,27 voire parfois 1,272 et même 1,27202 pour les expérimentateurs les plus adroits. Ils n’en sont pas restés là. Accolant un rectangle d’or de type I à un rectangle d’or de type II, ils ont obtenu un nouveau rectangle d’or, de type III, et, traçant sa diagonale, un nouveau triangle d’or, etc. etc. Puis, munis de ces rectangles et triangles de toutes formes, ils sont partis à leur recherche dans les œuvres d’art les plus célèbres. Tenez, prenons un exemple au hasard : la Joconde. Prolongez le bord supérieur de l’accoudoir sur lequel elle s’appuie jusqu’aux bords du tableau ; tirez ensuite une parallèle au sommet de son crâne (à l’extrémité de la raie qui partage ses cheveux) ; calculez enfin le rapport longueur/largeur du rectangle que vous venez de tracer. Quelle valeur trouvez‑vous ? Les dimensions et la précision de votre reproduction ne vous permettent peut-être pas d’obtenir une valeur meilleure que 1,61 ou 1,63. Ne doutez pas qu’en allant directement au Louvre prendre les mesures sur l’original au pied à coulisse vous n’obteniez exactement 1,618. Le charme du tableau doit moins au sourire de la dame qu’à la puissance harmonique de la divine proportion. En vérité, les plus hautes réalisations de l’esprit humain sont frappées au coin du nombre d’or : le Parthénon et le Taj Mahal, la cathédrale de Gloucester et le château du Plessis‑Bourré, la gare de Perpignan et le Palais idéal du facteur Cheval.

 

Remarque : les spécialistes appellent également « triangle d’or » deux triangles isocèles que l’on retrouve dans le pentagone (celui formé d’un côté et de deux diagonales et celui formé d’une diagonale et de deux côtés). Eux aussi sont régulièrement invoqués dans l’analyse des monuments et des tableaux, ainsi que les différentes formes de rectangles qui en dérivent. Mais c’est le triangle que nous avons défini ci‑dessus qui aurait, prétendument, été retrouvé dans la « Grande Pyramide ».

 

 

LA  GRANDE  PYRAMIDE

 

Il reste une quinzaine de grandes pyramides, de 50m à près de 150m de hauteur, datant de l’Ancien Empire (de ~2700 à ~2300). Certaines furent construites comme pyramides à degrés mais, classiquement, les degrés étaient ensuite comblés par des blocs de calcaire, soigneusement polis de manière à obtenir des faces parfaitement planes et lisses. Les constructeurs avaient à résoudre de sérieux problèmes pratiques (manutention et transport des matériaux, organisation du chantier, intendance…) mais, pour ce qui est de la forme extérieure du bâtiment, sa réalisation est, en principe, d’une simplicité dérisoire. En effet, la forme d’une pyramide est entièrement déterminée par un paramètre unique, l’angle d’inclinaison de ses faces. On le caractérise par sa pente, autrement dit sa tangente trigonométrique (cf. dessin ci-dessous), qui est égale au rapport : hauteur/demi-côté. On la retrouve naturellement de degré en degré. La base étant mise en place, il suffit ensuite, pour chaque assise, de veiller à ce que son retrait, par rapport à la précédente, respecte bien la pente.

 

h : hauteur     c : côté     m : médiane     pente = 2h/c

 

Le triangle en pointillé peut être considéré comme le gabarit de construction du bâtiment. Pour la moitié des pyramides de cette époque, la pente vaut 11/3 et c’est alors le triangle égyptien qui sert de gabarit. On trouve aussi d’autres valeurs, mais le rapport s’exprime toujours par une valeur simple : il ne comporte qu’une seule fraction égyptienne après la partie entière. (Une fraction égyptienne est l’inverse d’un entier.) Exemples :

 

       Ounas                        Chéphren                       Mykérinos                         Sahourê

    (Saqqarah)                       (Gizeh)                           (Gizeh)                          (Abousir)

p = 11/2                        p = 11/3                          p = 11/4                           p = 11/5

 

Après plus de quatre millénaires d’érosion et de dégradations volontaires (récupération de matériaux de construction, pillages), le revêtement des faces a disparu en totalité ou en grande partie, le sommet et les arêtes sont émoussés et la base plus ou moins profondément ensablée. Il est donc impossible de connaître les dimensions exactes à l’origine. Mais la pente, insensible aux outrages du temps, peut toujours être mesurée avec précision et, comme on sait qu’elle correspond à un nombre simple (dans la notation égyptienne), elle est connue sans ambiguïté. Il y a néanmoins une exception ; pour la « Grande Pyramide », celle de Chéops, à Gizeh, le gabarit adopté est le suivant :

 

 

Il correspond à une pente de 14/11 ≈ 1,2727. Respectueux de la tradition et routiniers comme l’étaient les Égyptiens, ils devaient avoir une bonne raison pour avoir fait un choix aussi inhabituel. Pour les chercheurs du nombre d’or, il ne fait aucun doute que la pente véritablement voulue par les constructeurs est :

 

                   

√Φ ≈ 1,2720

En pratique, il est impossible de faire la distinction entre ces deux valeurs. L’écart entre elles correspond à une différence de retrait, d’une assise à l’autre, d’environ 0,3 mm ; inutile de dire que, même aujourd’hui, on ne bâtirait pas avec une telle précision. Certains, parmi nos chercheurs, pensent pourtant qu’ils peuvent trancher (en faveur de leur hypothèse, naturellement) en estimant les dimensions du monument à l’origine. On lui attribue généralement 146m de hauteur et 230m de côté et les deux lignes qui suivent montrent qu’il faudrait connaître les mesures à 3cm près :

146,18 ÷ (229,84 ÷ 2) = 1,27202

146,23 ÷ (229,79 ÷ 2) = 1,27273

Plus de quatre millénaires d’érosion et de dégradations n’empêchent pas les plus acharnés de tenir la gageure. Ils estimeraient les dimensions originelles au micromètre près s’il le fallait. D’autres poursuivent le combat sur le plan théorique en invoquant un témoignage d’Hérodote (~Vème siècle). L’historien affirmerait tenir des prêtres égyptiens que la pyramide a été construite de telle sorte que la surface d’une face soit égale à celle d’un carré ayant la hauteur pour côté, ce qui implique que ce soit le triangle d’or qui serve de gabarit. Son tracé n’est pas bien compliqué… pour qui connaît la valeur de Φ ; on l’obtient en deux coups de compas à partir du triangle rectangle 1×2 :

 

Mais comment les constructeurs de la « Grande Pyramide » auraient-ils résolu ce problème de quadrature qui sent la mathématique grecque du ~Vème siècle à plein nez ? Bien sûr, on peut supposer que ces connaissances leur ont été transmises directement par les Atlantes, les Martiens ou le Père Noël, en croisière sur le Nil à cette époque. En fait, le témoignage d’Hérodote est une pure affabulation des sectateurs du nombre d’or. Il n’en reste pas moins que la pente inhabituelle de la « Grande Pyramide » doit avoir une explication ; elle saute aux yeux si l’on présente son gabarit sous une forme différente, bien que rigoureusement équivalente :

 

 

Le nombre 31/7 est celui par lequel les Égyptiens multipliaient le diamètre du cercle pour calculer son périmètre. Le gabarit de la « Grande Pyramide » traduit le fait que la hauteur est égale au rayon d’un cercle ayant même périmètre que la base.

 

Remarque : D’aucuns, se basant sur le papyrus Rhindt (~1800), affirment que les Égyptiens, ne connaissaient pas de meilleure valeur de π que 256/81 ≈ 3,1605. C’est une plaisanterie ! Ce nombre n’apparaît même pas dans le papyrus en question et aucun Égyptien ne l’a jamais vu écrit. Mais ils ne calculaient pas l’aire du disque comme nous ; ils calculaient celle d’un carré ayant la même superficie. Le côté de ce carré est forcément plus petit que le diamètre du cercle ; les Égyptiens estimaient sa longueur en diminuant celle du diamètre de 1/9. Nous pouvons bien, aujourd’hui, en déduire qu’ils obtenaient finalement le même résultat que s’ils avaient multiplié le carré du rayon par 256/81, ce n’est pas ce qu’ils faisaient. Ils utilisaient deux constantes, l’une pour le calcul de la surface (1/9), l’autre pour le calcul du périmètre (31/7). Cette dernière valeur se déterminait encore, il n’y a pas si longtemps, dans les classes du primaire, avec une boîte de camembert et un bout de ficelle. Entre la construction des pyramides et le papyrus Rhindt s’écoulent près de mille ans. Que pendant tout ce temps les Égyptiens n’aient jamais réalisé, fût-ce de manière empirique, qu’un seul et même nombre (qu’ils connaissaient!) permet de calculer à la fois l’aire et le périmètre d’un disque, marque bien la limite du savoir mathématique à cette époque. Rappelons quand même qu’il faut attendre encore un gros millénaire après le papyrus Rhindt pour voir naître Thalès et Pythagore.

 

* le nombre π/4 ≈ 11/14. Il suffit en effet de multiplier par cette valeur le périmètre ou la surface du carré pour obtenir les valeurs correspondantes du cercle inscrit, de même qu’il suffit de multiplier par π/6 ≈ 11/21 la surface ou le volume du cube pour obtenir les valeurs correspondantes de la sphère inscrite. 

 

Pour en revenir à la mystique du nombre d’or, répétons qu’on n’en trouve nulle trace avant la Renaissance. Le cercle, par contre, a toujours été l’image géométrique de la perfection et, pour les Égyptiens, le symbole du soleil dont le pharaon était le fils et l’incarnation. Quoi d’étonnant à ce qu’ils aient voulu placer sa demeure éternelle sous le signe qui, finalement, était le sien. Quant à nos chercheurs, vous noterez qu’ils ne parlent jamais que de la « Grande Pyramide », la plus ancienne et la plus célèbre des sept merveilles du monde, celle qui a fait couler plus d’encre que l’Île de Pâques, les dessins de Nazca et le trésor des Templiers réunis. Or, la pyramide de Chéops ne fait que reprendre la pente déjà utilisée pour celle de Houni, à Meïdoum, au siècle précédent. Mais, en matière d’ésotérisme, il ne faut pas négliger les synergies et il valait assurément mieux associer les mystères du nombre d’or à ceux de la « Grande Pyramide ».

 

 

LE  NOMBRE  D ’OR  ET  LE  PENTAGONE

 

Un peu de calcul trigonométrique amène à :

 

π         1

Φ = 2cos –– = ––––––

5             π

2sin ––

        10

 

On a par conséquent, pour le pentagone régulier inscrit :

 

  diagonale     apothème × 2 

Φ = ––––––– = –––––––––––

 côté               rayon

 

et, pour le décagone régulier inscrit :

 

 diagonale     rayon

Φ = ––––––– = –––––

  rayon         côté

 

On tire de ces relations de multiples procédés de construction de ces deux figures à la règle et au compas. En voici une, parmi d’autres, permettant de construire un pentagone de côté donné ; il prolonge le procédé indiqué plus haut pour le triangle d’or :

Bien que connu des Grecs, le tracé du pentagone n’a pas la simplicité et l’évidence de celle du carré ou de l’hexagone. À la Renaissance, Dürer en était encore à proposer une construction approchée. C’est probablement en partie pour cela que la figure a longtemps paru mystérieuse et a exercé un attrait certain dans toutes les cultures ; nous n’en voulons pour preuve que les variations sur le pentagone régulier croisé :

 

L’étoile à cinq branches, d’un usage courant en héraldique, se retrouve aussi sur de nombreux drapeaux nationaux. Le pentalpha, autre meuble du blason, figure sur ceux du Maroc (sous la dénomination d’étoile chérifienne) et de l’Éthiopie. Le pentacle fut utilisé dès l’antiquité par de nombreuses sectes ésotériques ou occultes. Le pentagramme servit encore de logo à des organisations terroristes dans les années de plomb. Pour les chercheurs du nombre d’or, le fait qu’il soit lié à une figure traditionnellement associée à l’ésotérisme et à la magie constitue un indice de plus en faveur de ses pouvoirs surnaturels. Un argument massue, assurément. Les voilà donc sur la trace des pentagones et, plus généralement, du nombre cinq. C’est ainsi que l’étoile de mer ou les doigts de la main deviennent autant de preuves de la mystérieuse puissance de Φ. La dernière chose qu’on ne comprend pas très bien, c’est pourquoi les moutons à cinq pattes ne courent pas les rues.

 

 

 

 

EN  EFFEUILLANT  LA  MARGUERITE

 

Les amoureux qui interrogent la marguerite peuvent poser vingt fois la même question, vingt fois ils auront la même réponse : le nombre de pétales est fixe pour une espèce donnée. Pour les fleurs à capitule, il est généralement de 13 pour les soucis, 21 pour les asters, 34 ou 55 ou 89 pour les fleurs du type pâquerettes ou marguerites, 55 ou 89 ou 144, voire 233 pour les différentes espèces de tournesol. Rien que des nombres de la suite de Fibonacci ! Il est difficile, cette fois, de contester qu’il y a bien là un mystère. Comment se forme une fleur de ce genre ? Les différents organes (sépales, pétales, organes reproducteurs) apparaissent en séries au centre du capitule et s’étalent en formant un disque. Quand un type d’organes a atteint le nombre requis, les organes d’un autre type se forment à leur tour et, s’étalant eux aussi en disque, repoussent les précédents à la périphérie. Les ovaires apparaissent en dernier et restent en place, au centre de la fleur, où ils se transformeront en graines. Mais comment la plante sait-elle, à la fin de chaque série, qu’elle a atteint le nombre d’organes voulu ? Nous allons exposer un modèle mathématique connu qui ne prétend nullement rendre compte dans le détail d’un fait biologique aussi complexe, mais qui entend simplement proposer un mécanisme permettant d’entrevoir une solution possible à l’énigme.

Supposons que nous en soyons à la formation des pétales et qu’il en soit déjà apparu un certain nombre. Assimilons chaque pétale à un petit cercle. La formation du suivant exerce une poussée qui, se transmettant de proche en proche, modifie légèrement l’organisation spatiale de l’ensemble. Nous pouvons admettre que le mécanisme obéit au principe de moindre action et qu’il a pour effet une occupation de l’espace la plus compacte possible. Chaque pétale se trouve alors à une distance du centre proportionnelle à son âge. (Par âge, nous entendons le nombre de pétales formés après lui. Lorsque le seizième pétale a pris place au centre, l’âge du premier né est égal à 15.) Si, partant du centre, nous traçons les rayons passant par tous les pétales, les angles formés sont du même ordre de grandeur mais, contrairement à ce qu’on pourrait croire, ils ne sont pas rigoureusement égaux. Il y a toujours un (ou, à égalité, plusieurs) plus grand angle. C’est dans cette direction radiale qu’est automatiquement entraîné le dernier pétale formé, car c’est celle dans laquelle la résistance de l’ensemble est la plus faible. Le modèle mathématique présenté se fonde sur deux hypothèses. Il admet, d’une part, que l’angle séparant deux pétales quelconques reste fixe tout au long du processus, d’autre part, que chaque nouveau pétale formé est décalé d’un angle constant par rapport au précédent. Ce sont des hypothèses peu crédibles, spécialement pour les premiers pétales, mais, encore une fois, le modèle ne prétend pas au réalisme absolu. Il est plutôt à considérer comme un idéal vers lequel la structure tend asymptotiquement au fur et à mesure qu’elle s’étoffe. Dans les conditions imposées par le modèle, les pétales s’éloignent peu à peu du centre en formant une spirale. Pour en suivre le développement, nous prendrons le premier pétale formé pour origine fixe (même si, on l’a compris, la structure est supposée tourner un peu sur elle-même à chaque étape). Dans les dessins qui suivent, nous placerons les pétales en cercle, car nous nous intéresserons essentiellement à leur disposition radiale, mais il ne faudra pas perdre de vue que deux pétales voisins peuvent être – et sont généralement – placés sur des spires différentes. Enfin, nous baptiserons φ l’angle de décalage constant d’un pétale par rapport au précédent (on comprendra vite pourquoi) et nous mesurerons les angles en nombre de tours (multiplier par 360 pour avoir leur valeur en degrés). Nous pouvons à présent suivre pas à pas l’évolution du processus :

 

 

Le premier pétale formé sert donc de référence. Le deuxième, lorsqu’il apparaît, découpe le cercle entier en deux angles dont le rapport, du plus grand au plus petit, vaut : φ/(1–φ). Il peut sembler bizarre que nous choisissions un angle rentrant (supérieur à ½ tour) comme angle de décalage ; cela aussi se comprendra très vite. Le troisième, à son tour décalé de la même valeur, va automatiquement découper le plus grand des deux angles disponibles en deux parties dont le rapport, de la plus grande à la plus petite, vaut : (1-φ)/(2φ-1). Il n’est pas nécessaire, pour obtenir une spirale, que ce rapport de découpage soit le même pour chaque pétale. Mais, comme le montre l’expérience, c’est indispensable si l’on veut que la structure formée soit la plus compacte possible. Or, il faut pour cela que l’angle de décalage constant, entre deux pétales successifs, soit tel que l’on ait :

 φ      1-φ

––– = ––––

1-φ     2φ-1

 

d’où l’on tire :

 

                     

√5 - 1

φ = ––––– ≈ 0,618

2  

Nous dirons que φ est l’angle d’or car :  Φ – φ  =  Φ × φ  =  1

 

Maintenant que nous connaissons sa valeur, poursuivons l’examen du processus en notant les valeurs numériques des angles successivement formés :

 

Après l’apparition des trois premiers pétales, il reste deux plus grands angles de 0,382. L’un est occupé par le quatrième pétale, mais la production ne peut pas s’arrêter là. Le premier angle de 0,382 ayant été vaincu par la force de poussée, celle-ci vaincra aussi le second. Après la mise en place du cinquième pétale, il reste trois plus grands angles de 0,236 qui opposent une résistance plus importante. Si la force de poussée est cette fois insuffisante, la production s’arrête ; sinon, elle donne forcément naissance aux pétales 6, 7 et 8. Dans ce dernier cas, il y aura alors cinq plus grands angles de 0,146 et, à nouveau, ou la force de poussée sera trop faible, et la production cessera, ou elle sera encore suffisante, et on verra apparaître les pétales 9 à 13. Finalement, le processus ne peut s’arrêter que sur un nombre de la suite de Fibonacci. Après quoi, il faut nécessairement une force de poussée plus importante pour insérer les ovaires. Le même scénario recommence alors et ne pourra prendre fin, une fois de plus, que sur un nombre de la même suite.

Le modèle, que nous avons volontairement présenté sous une forme simpliste, interdit la formation de fleurs à 4 ou 6 ou 12 pétales, et Dieu sait si elles sont nombreuses, mais on peut lui apporter les modifications ad hoc. On peut même expliquer, pour une espèce donnée, un nombre de pétales apparemment tératologique en faisant en sorte que les nombres de la suite de Fibonacci n’apparaissent plus que comme des probabilités. Ce n’était pas dans notre propos.

Les ovaires étant formés en dernier, ils restent en place au centre de la fleur où ils se transformeront en graines, conservant la disposition spatiale caractéristique de l’angle d’or :

 

La spirale de formation est invisible. Mais, avec un peu d’attention, on peut discerner – et suivre du doigt – une série de 13 bras spiralés tournant dans le sens des aiguilles d’une montre et une série de 21 bras spiralés, d’ailleurs plus facile à voir car plus redressés, tournant en sens inverse. À ce stade d’entraînement, on pourra même deviner, à la périphérie, le départ d’une série de 34 bras tournant à nouveau dans le sens des aiguilles d’une montre. Il s’agit d’artefacts, produits par le lent décalage radial entre deux graines voisines mais séparées par plusieurs tours sur la spirale de formation. Si l’on part de l’angle complémentaire 1–φ ≈ 0,382 on obtient une figure parfaitement symétrique, tournant simplement en sens inverse. Mais que se passe-t-il si l’on construit une spirale sur un angle différent ? Avec l’angle nul, également éloigné de φ et de 1–φ, la spirale de formation ne produit qu’un unique bras en forme de demi-droite partant du centre. Avec l’angle 0,5 qui est, lui aussi, également éloigné de φ et de 1–φ, on obtient deux bras formant une droite. D’une manière générale, un angle fractionnaire ne donne naissance, à partir d’une certaine distance du centre, qu’à des rayons rectilignes dont le nombre est égal au dénominateur de la fraction. Seul un angle irrationnel produit une infinité de bras spiralés. Mais, au centre, les spires de la spirale de formation sont d’autant plus écartées les unes des autres, que l’angle de décalage est proche de 0 ou de 0,5 et l’espace est alors occupé de manière très dispendieuse. Or c’est bien le centre de la structure qui correspond au cas réel, car un capitule ne produit pas des dizaines de milliers de graines. Ce n’est qu’au fur et à mesure que l’angle de décalage se rapproche de φ ou de 1–φ que les spires se rapprochent les unes des autres permettant finalement, dans le cas de la spirale d’or, à des graines de même taille, de pratiquement se toucher dans tous les sens, sur tout le plan. Mais une fleur n’a pas de modèle géométrique enfoui dans ses gênes. D’ailleurs, on pourrait aussi bien imaginer une grande table de billard n’ayant qu’un trou au milieu, par lequel un mécanisme introduirait des boules, délicatement, une à une ; cela reviendrait au même. Les graines se laissent tout simplement ballotter par les poussées qu’elles reçoivent et transmettent entre elles. Ce complexe jeu de compositions et décompositions de forces répond à tout instant à la classique règle que chacun a apprise au lycée et selon laquelle la résultante est égale à la somme vectorielle non pondérée de ses composantes, ce qui correspond à l’isotropie de l’espace. Fondamentalement, il semble difficile d’aller au-delà de cette tautologie : l’espace est occupé régulièrement dans tous les sens parce que les forces n’ont pas de direction privilégiée. Le résultat est une structure qui tend peu à peu vers la spirale d’or. Comme d’autres nombres et d’autres formules, dans bien d’autres domaines, l’angle d’or exprime, sous une forme condensée, un préalable mathématique à toute expérience physique possible, en l’occurrence d’occupation de l’espace.

 

Une propriété particulière, qui lui est véritablement tout à fait spécifique, éclairera peut-être un peu plus la question. Seuls les angles irrationnels, avons‑nous dit, peuvent générer une infinité de bras spiralés. Cela provient de ce qu’ils… ne sont pas rationnels (excusez la lapalissade) et qu’on ne peut les écrire que sous forme de fraction continue. Une telle fraction donne naissance à une suite infinie de fractions réduites qui sont autant d’approximations rationnelles de plus en plus précises de l’angle décomposé :

 

1

π/10 = –––––––––––––––––

 1

 3 + –––––––––––––

 1

 5 + –––––––––

      1

      2 + –––––

6 + …

 

            3      5      2       6    

    1   0    1      5     11     71

  0   1    3     16    35    226

 

On calcule une réduite en faisant la somme pareillement pondérée des numérateurs et des dénominateurs des deux précédentes ; ainsi dans notre exemple : 6×11 + 5 = 71 et 6×35 + 16 = 226. D’une manière générale, chaque nouvelle réduite se calcule avec un coefficient de pondération différent : 3 – 5 – 2 – 6 –etc. Il existe néanmoins des angles qui correspondent à un coefficient de pondération constant comme :

 

1

                                  

√10 – 3 = ––––––––––––––––

 1

   6 + –––––––––––––

1

  6 + –––––––––

   1

 6 + –––––

      6 + …

 

             6      6      6      6   

 1   0    1      6     37    228

 0   1     6    37   228  1405

 

Voici les premiers d’entre eux :

 

c

1

2

3

4

5

6

α

0,618 034

0,414 214

0,302 776

0,236 068

0,192 582

0,162 278

 

Chaque angle α est égal à la partie décimale de son inverse, la partie entière étant le coefficient de pondération constant c. Pour les réduites, la suite des numérateurs est alors identique à celle des dénominateurs, simplement décalée d’un rang, ce qui signifie que ces angles sont associés à une suite unique. Mais pour le premier, l’angle d’or, cette suite (celle de Fibonacci) est la seule pour laquelle chacun de ses termes s’obtient en accordant exactement le même poids relatif aux deux précédents, autrement dit en faisant leur somme non pondérée.

 

L’observation est à rapprocher de la loi physique précitée concernant la résultante de deux forces. Il est clair que, dans un espace anisotrope féerique dans lequel la résultante serait la somme pondérée des composantes, selon leur ordre dans un sens de rotation donné, la structure obtenue serait différente. Que, compte tenu des lois effectives de la physique, le processus biologique étudié tende vers le nombre d’or n’a donc rien de spécialement stupéfiant et il n’est pas absurde de penser qu’on puisse le retrouver dans d’autres phénomènes naturels. Ce n’est pas une raison pour en faire l’alpha et l’oméga, la pierre philosophale intellectuelle expliquant tout et le reste. En particulier, s’agissant des pratiques artistiques et des jugements esthétiques spontanés, aucune observation sérieuse ne vient corroborer l’hypothèse fantasmatique selon laquelle la divine proportion serait gravée au tréfonds de notre psychisme.