LE  NOMBRE  D’OR

 

 

Entre mythe et réalité, les tenants du nombre d’or font feu de tout bois et les plus hautes réalisations artistiques de l’esprit humain seraient ainsi frappées au coin du nombre d’or : le Parthénon et le Taj Mahal, la cathédrale de Gloucester et le château du Plessis‑Bourré, la gare de Perpignan et le Palais idéal du facteur Cheval. Une fois qu’on a passé la mesure, il n’y a plus de limite, disait Épictète. Les dimensions de la Grande Pyramide, la plus ancienne et la plus célèbre des sept merveilles du monde, celle qui a fait couler plus d’encre que l’Île de Pâques, les dessins de Nazca et le trésor des Templiers réunis, témoigneraient de ce que ses bâtisseurs connaissaient la vitesse de la lumière par micro‑seconde au micro‑mètre près. Dans le bref article qui suit, nous nous demanderons plus prosaïquement s’ils connaissaient au moins le nombre d’or.

 

 

Le rectangle d’or

 

Le rectangle d’or est un rectangle dont la longueur est moyenne proportionnelle entre la largeur et le demi‑périmètre. Le nombre d’or est la proportion ainsi définie et on le représente par la lettre grecque phi (φ). Un calcul simple nous donne sa valeur exacte :

 

 

φ  =

 

 

Longueur+largeur

Longueur

 

=

 

Longueur

largeur

 

=

                                      

1+√5

2

 

  1,618

 

Ce nombre jouit d’une propriété caractéristique :

 

φ   =  1  +

1

φ

 

propriété qui se reporte sur le rectangle d’or :

 

si on lui retire un carré comme indiqué ci‑dessus, le rectangle restant est encore un rectangle d’or. Et inversement, si on lui accole un carré sur la longueur, le rectangle obtenu est toujours un rectangle d’or. Sur le plan esthétique, à mi‑chemin entre le carré et des rectangles excessivement allongés, le rectangle d’or serait particulièrement harmonieux et incarnerait, si l’on ose dire, une espèce de rectangularité idéale.

 

 

Formats usuels

 

Pourtant, une étude statistique montre clairement que, dans la peinture occidentale, des primitifs aux impressionnistes inclus, le format médian des tableaux est le 4/3 ≈ 1,33. À vrai dire, il en est peu dont la forme se rapproche de celle du rectangle d’or, même pour le paysage. D’ailleurs, le format 4/3 demeurait, il y a quelques années, celui du papier à dessin ordinaire vendu en feuilles de 24×32. De même, le papier photo se vendait surtout en feuilles de 18×24 et de 30×40 (et c’est toujours le cas pour les passionnés de l’argentique). Ce fut également le format du cinéma muet, avant que le parlant, avec le film 35mm, n’imposât le standard du 11/8 ≈ 1,38. Mais ce n’est qu’à partir des années cinquante que le cinéma s’orienta vers une esthétique totalement différente, quand se répandirent, à peu près simultanément, le technicolor et le cinémascope, ce dernier faisant passer le septième art au format 2,35/1. Nonobstant, c’est toujours avec des écrans au format 4/3 que naquirent la télévision puis l’informatique grand public, format qu’elles conservèrent jusqu’au début de ce siècle. Du point de vue géométrique, un rectangle 4/3 se compose de deux triangles « égyptiens ». Cest le seul rectangle dont la longueur est moyenne arithmétique entre la largeur et la diagonale. Mais il existe également un rectangle dont la longueur est moyenne géométrique entre la largeur et la diagonale, raison pour laquelle nous l’appellerons « rectangle proportionnel ». Au même titre que le rectangle d’or, il est, lui aussi, lié au nombre d’or puisqu’il se caractérise par :

 

Diagonale

Longueur

=

Longueur

largeur

=

 

 

                 

√φ

 

    1,272

 

 

Les trois formats envisagés, qui valent donc environ 1,27 pour le rectangle proportionnel, 1,33 pour le format 4/3 et 1,62 pour le rectangle d’or, sont visualisés ci‑dessous :

 

Les deux premiers sont déjà fort proches mais, entre eux, s’intercalent encore d’autres formats usuels tels le raisin (50×65 = 1,30) familier aux élèves des beaux‑arts, le format des cahiers d’écolier (17×22 ≈ 1,29) ou celui de l’ancien papier à écrire (21×27 ≈ 1,29). On notera que tous ces formats correspondent, peu ou prou, au champ visuel binoculaire.

 

 

Tracés géométriques

 

Pour toutes les constructions géométriques liées au nombre d’or, depuis le « partage d’un segment en extrême et moyenne raison » jusqu’au tracé du pentagone régulier, en passant par celui du rectangle d’or, la figure de base repose sur le triangle rectangle 1×2 car, pour un segment donné, elle fournit à la fois le segment φ fois plus grand et le segment φ fois plus petit :

 

AN

AB

=

AB

AM

=

φ

 

 

Pour la construction du pentagone régulier, par exemple, si AB est le côté, la diagonale est égale à AN. Deux coups de compas livrent alors le point D, et un troisième, les points C et E.  

 

 

 

 

LA  GRANDE  PYRAMIDE

 

 

Il reste une quinzaine de grandes pyramides, de 50m à près de 150m de hauteur, datant de l’Ancien Empire (de ~2700 à ~2300). Certaines furent construites comme pyramides à degrés mais, classiquement, les degrés étaient ensuite comblés par des blocs de calcaire, soigneusement polis de manière à obtenir des faces parfaitement planes et lisses. Les constructeurs avaient à résoudre de sérieux problèmes pratiques (manutention et transport des matériaux, organisation du chantier, intendance…) mais, pour ce qui est de la forme extérieure du bâtiment, sa réalisation est, en principe, d’une simplicité dérisoire. En effet, la forme d’une pyramide est entièrement déterminée par un paramètre unique, l’angle d’inclinaison de ses faces. On le caractérise par sa pente, autrement dit sa tangente trigonométrique (cf. dessin ci-dessous), qui est égale au rapport : hauteur/demi-côté. On la retrouve naturellement de degré en degré. La base étant mise en place, il suffit ensuite, pour chaque assise, de veiller à ce que son retrait, par rapport à la précédente, respecte bien la pente.

 

h : hauteur     c : côté     m : médiane     pente = 2h/c

 

Le triangle en pointillé peut être considéré comme le gabarit de construction du bâtiment. Pour la moitié des pyramides de cette époque, la pente vaut 11/3 et c’est alors le triangle égyptien qui sert de gabarit. On trouve aussi d’autres valeurs, mais le rapport s’exprime toujours par une valeur simple : il ne comporte qu’une seule fraction égyptienne après la partie entière. (Une fraction égyptienne est l’inverse d’un entier.) Exemples :

 

       Ounas                        Chéphren                       Mykérinos                         Sahourê

    (Saqqarah)                       (Gizeh)                           (Gizeh)                          (Abousir)

p = 11/2                        p = 11/3                          p = 11/4                           p = 11/5

 

Après plus de quatre millénaires d’érosion et de dégradations volontaires (récupération de matériaux de construction, pillages), le revêtement des faces a disparu en totalité ou en grande partie, le sommet et les arêtes sont émoussés et la base plus ou moins profondément ensablée. Il est donc impossible de connaître les dimensions exactes à l’origine. Mais la pente, insensible aux outrages du temps, peut toujours être mesurée avec précision et, comme on sait qu’elle correspond à un nombre simple (dans la notation égyptienne), elle est connue sans ambiguïté. Il y a néanmoins une exception ; pour la plus grande des pyramides, celle de Chéops, à Gizeh, le gabarit adopté est le suivant :

 

 

Respectueux de la tradition et routiniers comme l’étaient les Égyptiens, ils devaient avoir une bonne raison pour avoir fait un choix aussi inhabituel.

 

 

Les deux hypothèses

 

Les partisans du nombre d’or affirment qu’une face de la pyramide est tout bonnement un rectangle d’or coupé en diagonale de manière à former un triangle isocèle.

 

 

Il en découle que : médiane d’une face = φ×demi‑côté. Cela implique que le gabarit de construction soit un « triangle proportionnel » et la pente vaut alors :

 

 

p

 

=

                

√φ

 

 

1,272 020

 

Par rapport à la pente généralement admise, cela correspond à une différence sur les dimensions de quelques centimètres, comme le montrent les deux lignes qui suivent :

hauteur = 146,58m et demi‑côté = 115,17m → pente = 1,272 727

hauteur = 146,55m et demi‑côté = 115,21m → pente = 1,272 020

le résultat serait donc tout à fait convaincant.

 

 

« Serait », car une autre hypothèse est tout aussi convaincante : les bâtisseurs auraient choisi pour hauteur le rayon d’un cercle ayant même périmètre que la base. Cela suppose que l’on ait : hauteur = (4/π)×demi‑côté. Et, à condition de prendre π = 31/7, la pente d’inclinaison des faces vaut alors exactement 14/11. Mais d’aucuns, se basant sur le papyrus Rhindt (~1800), affirment que les Égyptiens de l’époque ne connaissaient pas de meilleure valeur de π que 256/81 ≈ 3,1605. C’est une plaisanterie ! ce nombre n’apparaît même pas dans le papyrus en question. Le document ne contient qu’une recette pour calculer l’aire du disque, recette consistant à amputer le diamètre d’un neuvième puis à élever le résultat au carré. Nous pouvons bien, aujourd’hui, en déduire que cela revient à multiplier le carré du rayon par 3,1605 mais ce n’est pas ce qu’ils faisaient. En fait, ils n’utilisaient le nombre π que pour le calcul du périmètre et on peut raisonnablement penser qu’ils connaissaient la valeur 31/7, valeur qui se déterminait, il n’y a pas si longtemps encore, dans les classes du primaire, avec une boîte de camembert et un bout de ficelle. Entre la construction des pyramides et le papyrus Rhindt s’écoule près d’un millénaire. Que pendant tout ce temps les Égyptiens n’aient jamais réalisé, fût-ce de manière empirique, qu’un seul et même nombre (qu’ils connaissaient* !) permet de calculer à la fois l’aire et le périmètre du disque, marque bien la limite du savoir mathématique à cette époque. Rappelons qu’il faut attendre encore un gros millénaire après le papyrus Rhindt pour voir naître Thalès et Pythagore.

* Il suffit en effet de calculer le périmètre ou l’aire du carré circonscrit puis de multiplier le résultat par π/4 ≈ 11/14, de même que, pour la sphère, il suffit de calculer l’aire ou le volume du cube circonscrit puis de multiplier le résultat par π/6 ≈ 11/21.

 

 

Au bout du compte, les deux hypothèses sont indiscernables par la mesure des dimensions ou de la pente, car les Égyptiens ne bâtissaient pas avec une précision inférieure à 0,1%.

Pour autant, elles ne se valent nullement ! La grande rose de Notre‑Dame est inscrite dans une bordure carrée. Mais qui dira que le nombre d’or est inscrit dans la cathédrale parce que :

 

périmètre du carré

 

=

               

√φ

 

×

 

périmètre du cercle   à moins de 0,1% près

Ce serait absurde car, bien qu’exacte, cette relation purement numérique est totalement adventice. Or, c’est le raisonnement que l’on tient pour la grande pyramide.

À ce compte‑là, il serait encore plus probant de retrouver cinq boules de pétanque rangées dans un parallélépipède parfaitement ajusté, car il serait vrai aussi que :

volume d’une boule  ×    =  volume de la boîte  ×  φ²    à moins de 0,002% près

Et par‑dessus le marché, il faudrait admettre que les scribes de l’Ancien Empire avaient 2000 ans d’avance sur les Grecs en mathématique ? Et même à supposer qu’ils aient eu ce niveau de connaissance, quel message symbolique auraient‑ils voulu faire passer avec cette histoire de proportion dorée ? Au contraire, l’hypothèse du nombre π est claire et convaincante sur tous les plans. Une pyramide n’a, de prime abord, aucun rapport avec le cercle. Les bâtisseurs voulurent néanmoins placer le monument sous le signe du disque solaire, le pharaon étant à la fois fils et incarnation de Rê. Peut‑être le firent‑ils sous la forme du mystère, qui n’était dévoilé qu’aux initiés. Quoi qu’il en soit, la pente de 14/11 avait déjà été utilisée pour la pyramide de Houni, à Meïdoum, au siècle précédent. Et si mystère il y avait pour le vulgum pecus, ce mystère‑là crie dans le désert depuis près de 5 000 ans : le nombre d’or n’est pas dans la Grande Pyramide.